21 сентября 2021, вторник, 02:33
VK.comFacebookTwitterTelegramInstagramYouTubeЯндекс.ДзенОдноклассники

НОВОСТИ

СТАТЬИ

PRO SCIENCE

МЕДЛЕННОЕ ЧТЕНИЕ

ЛЕКЦИИ

АВТОРЫ

Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

Издательства «КоЛибри» и «Азбука-Аттикус» представляют книгу израильского математика Хаима Шапира «Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение» (перевод Дмитрия Прокофьева).

Математические формулы — такое же чудо, как и гениальные произведения великих композиторов и писателей, утверждает автор нескольких бестселлеров, математик и философ Хаим Шапира. Всем, кто желает расширить свой кругозор, он предлагает ознакомиться с математическими теориями, касающимися самой красивой из концепций, когда-либо созданных человечеством, — концепцией бесконечности. Эта концепция волновала многих выдающихся мыслителей, среди которых Зенон и Пифагор, Георг Кантор и Бертран Рассел, Софья Ковалевская и Эмми Нётер, аль-Хорезми и Евклид, Софи Жермен и Сриниваса Рамануджан. Поскольку мир бесконечности полон парадоксов, немало их и в этой книге: апории Зенона, гильбертовский отель «Бесконечность», парадокс Ахиллеса и богов, парадокс Рая и Ада, парадокс Росса — Литлвуда о теннисных мячах, парадокс Галилея и многие другие.

«Я расскажу читателю-неспециалисту просто и ясно о двух математических теориях, которые считаю самыми завораживающими, — теории чисел и теории множеств, и каждая из них имеет отношение к бесконечности. Вместе с этим я предложу стратегии математического мышления, позволяющие читателю испытать свои способности к решению поистине увлекательных математических задач», — говорит автор.

Предлагаем прочитать фрагмент книги.

 

Капрекар раскрывает тайны числа 6174

Индийский математик Даттарая Рамчандра Капрекар родился в 1905 г. Он закончил Мумбайский университет[1] и посвятил себя преподавательской работе. Он проработал школьным учителем несколько десятилетий, но так никогда и не изучал высшую математику. Он внес вклад в развитие нескольких разных областей — в том числе магических квадратов, периодических десятичных дробей и целых чисел с особыми свойствами. Он открыл несколько замечательных свойств чисел, но при жизни так и не получил признания. Лишь совсем недавно его вклад в теорию чисел был оценен по достоинству: в знак запоздалого признания его именем была названа постоянная.

Постоянная Капрекара

В 1949 г. Капрекар установил, что число 6174 можно считать пределом последовательности следующих операций. Возьмем любое четырехзначное число, не все цифры которого одинаковы. Переставим его цифры так, чтобы получить наименьшее и наибольшее из возможных чисел. Вычтем меньшее число из большего. Если их разность равна 6174, процесс завершен. Если нет, повторим те же действия. В конце концов всегда получается 6174.

Попробуем проделать это с номером года, в котором я начал писать эту книгу, — 2009. Наибольшее число, которое можно образовать из этих четырех цифр, — 9200, а наименьшее — 0029. Вычтем 29 из 9200 и получим 9171.

Повторим эту процедуру: 9711 – 1179 = 8532.

Продолжим: 8532 – 2358 = 6174. Наши поиски завершены: в конце пути нас с самого начала поджидало число 6174.

На математическом языке 6174 называется «неподвижной точкой», что означает следующее: если мы подставим в этот процесс само это число, мы снова вернемся к нему же. Проверим:

7641 – 1467 = 6174. Действительно, дальше дороги нет; путешествие подошло к концу.

А что, если немного схитрить? Получится ли этот же фокус с числом, в котором есть три одинаковые цифры? Скажем, с числом 1112? Давайте попробуем.

2111 – 1112 = 999

Поскольку мы работаем с четырехзначными числами, запишем результат в виде 0999.

9990 – 0999 = 8991

9981 – 1899 = 8082

8820 – 0288 = 8532

8532 – 2358 = 6174

Вот мы и на месте.

Если кому-нибудь из вас остро требуется трудотерапия, можете попробовать проделать это с какими-нибудь другими числами.

Теперь у нас появилась превосходная возможность поставить свой собственный маленький математический эксперимент. Что получится, если использовать не четырехзначные, а трехзначные числа?

Попробуем, например, взять число 169.

961 – 169 = 792

Кстати, 169 = 132, а 961 = 312. Но не будем отвлекаться.

972 – 279 = 693

963 – 369 = 594

954 – 459 = 495

Мы пришли к неподвижной точке (проверьте, что это так!). Неужели мы открыли постоянную Капрекара для трехзначных чисел? Именно это мы и сделали! Если вы увлекаетесь алгеброй, вам не составит особого труда доказать это утверждение.

Перейдем к двухзначным числам. С ними-то всё должно быть совсем легко, правда?

Начнем с одного из моих любимых чисел — 17.

71 – 17 = 54, 54 – 45 = 9, 90 – 9 = 81, 81 – 18 = 63, 63 – 36 = 27, 72 – 27 = 45, 54 – 45 = … Минуточку! Здесь мы уже были! Что происходит? На самом деле мы пришли к точке периодичности. Для двухзначных чисел неподвижной точки не существует.

Головоломка

А что получается с пятизначными числами? А с шестизначными?

Числа Капрекара

Капрекар обнаружил, что некоторые числа обладают одним необычным свойством: если возвести такое число в квадрат, то получившееся число можно разбить на две части, сумма которых будет равна исходному числу. Эта концепция станет яснее, если привести несколько примеров:

92 = 81; 1 + 8 =9;

452 = 2025; 20 + 25 = 45;

9992 = 998 001; 998 + 001 = 999;

27282 = 7 441 984; 744 + 1984 = 2728;

818 1812 = 669 420 148 761; 669 420 + 148 761 = 818 181.

Числа 9, 45, 999, 818 181 — и многие другие — относятся к сообществу «чисел Капрекара». Вы можете запустить на своем компьютере простую программу, которая познакомит вас со многими другими представителями этого сообщества.

Головоломка

Докажите, что числа 9, 99, 999 и 9999 — это числа Капрекара.

Древняя индийская задача

Найдите следующее число в последовательности:

1, 2, 4, 8, 16, 23, 28, 38, 49…

Подумайте несколько минут. Если вы не сможете решить эту задачу, ответ можно найти в примечаниях в конце книги.

Интересная особенность этой задачи заключается в том, что ее обычно бывает трудно решить почтенным математикам, потому что они углубляются в поиски сложных идей. Легче всего эта задача дается умным детям.

Капрекар заметил, что некоторые числа можно получить сложением меньшего числа с суммой его цифр, а для других чисел это оказывается невозможным. Например, число 40 можно получить этим методом, взяв 29 (2 + 9 = 11, 29 + 11 = 40).

Но число 20 таким образом получить невозможно, с какого бы числа мы ни начинали (проверьте, так ли это).

Капрекар сформулировал критерий, по которому можно определить, какие числа невозможно получить при помощи этого метода[2]. Я не хочу лишать вас удовольствия самостоятельно воссоздать этот критерий. Дам лишь небольшой совет: найдите первое число, удовлетворяющее этому критерию, и попытайтесь вывести общее правило.



[1] В то время Бомбейский.

[2] В русской терминологии такие числа (например, число 20) называются самопорожденными, в отличие от порожденных чисел (например, числа 40; число 29 называется его генератором).

Обсудите в соцсетях

«Ангара» Африка Византия Вселенная Гренландия ДНК Иерусалим КГИ Луна МГУ МФТИ Марс Монголия НАСА РБК РВК РГГУ РадиоАстрон Роскосмос Роспатент Росприроднадзор Русал СМИ Сингапур Солнце Титан Юпитер акустика антибиотики античность антропогенез археология архитектура астероиды астронавты астрофизика бактерии бедность библиотеки биоинформатика биомедицина биомеханика бионика биоразнообразие биотехнологии блогосфера вакцинация викинги виноделие вирусы воспитание вулканология гаджеты генетика география геология геофизика геохимия гравитация грибы дельфины демография демократия дети динозавры животные здоровье землетрясение змеи зоопарк зрение изобретения иммунология импорт инновации интернет инфекции ислам исламизм исследования история карикатура картография католицизм кельты кибернетика киты клад климатология клонирование комары комета кометы компаративистика космос кошки культура культурология лазер лексика лженаука лингвистика льготы малярия мамонты математика материаловедение медицина металлургия метеориты микробиология микроорганизмы мифология млекопитающие мозг моллюски музеи насекомые наука нацпроекты неандертальцы нейробиология неолит обезьяны общество онкология открытия палеоклиматология палеолит палеонтология память папирусы паразиты перевод питание планетология погода политика право приматы природа психиатрия психоанализ психология психофизиология птицы путешествие пчелы ракета растения религиоведение рептилии робототехника рыбы сердце смертность собаки сон социология спутники средневековье старение старообрядцы стартапы статистика табак такси технологии тигры топливо торнадо транспорт ураган урбанистика фармакология физика физиология фольклор химия христианство цифровизация школа экзопланеты экология электрохимия эпидемии эпидемиология этология язык Александр Беглов Алексей Ананьев Дмитрий Козак Древний Египет Западная Африка Латинская Америка НПО «Энергомаш» Нобелевская премия РКК «Энергия» Российская империя Сергиев Посад Солнечная система альтернативная энергетика аутизм биология бозон Хиггса вымирающие виды глобальное потепление грипп защита растений инвазивные виды информационные технологии искусственный интеллект история искусства история цивилизаций исчезающие языки квантовая физика квантовые технологии климатические изменения компьютерная безопасность компьютерные технологии космический мусор криминалистика культурная антропология культурные растения междисциплинарные исследования местное самоуправление мобильные приложения научный юмор облачные технологии обучение одаренные дети педагогика персональные данные подготовка космонавтов преподавание истории продолжительность жизни происхождение человека русский язык сланцевая революция темная материя физическая антропология финансовый рынок черные дыры эволюция эволюция звезд эмбриональное развитие этнические конфликты ядерная физика Вольное историческое общество Европейская южная обсерватория жизнь вне Земли естественные и точные науки НПО им.Лавочкина Центр им.Хруничева История человека. История институтов дело Baring Vostok Протон-М 3D Apple Big data Dragon Facebook Google GPS IBM MERS PayPal PRO SCIENCE видео ProScience Театр SpaceX Tesla Motors Wi-Fi

Редакция

Электронная почта: polit@polit.ru
Телефон: +7 929 588 33 89
Яндекс.Метрика Top.Mail.Ru
Свидетельство о регистрации средства массовой информации
Эл. № 77-8425 от 1 декабря 2003 года. Выдано министерством
Российской Федерации по делам печати, телерадиовещания и
средств массовой информации. Выходит с 21 февраля 1998 года.
При любом использовании материалов веб-сайта ссылка на Полит.ру обязательна.
При перепечатке в Интернете обязательна гиперссылка polit.ru.
Все права защищены и охраняются законом.
© Полит.ру, 1998–2021.